Inecuaciones con Valor Absoluto

INECUACIONES CON VALOR ABSOLUTO

Una inecuación es una desigualdad algebraica en la que aparecen una o más incógnitas en los miembros de la desigualdad. Si la desigualdad es del tipo < o > se denomina inecuación en sentido estricto y si es del tipo ≤ o ≥  se denomina inecuación en sentido amplio.

Método para resolver inecuaciones con Valor Absoluto

Para resolver una inecuación que contiene valor absoluto, se siguen los siguientes pasos:

1. Aislar la expresión con valor absoluto a un lado de la inecuación.
2. Hallar los intervalos de prueba. Esto se logra resolviendo la ecuación que resulta de cambiar el signo de desigualdad por el signo de igualdad. La solución de dicha ecuación determina los límites de los intervalos en la recta numérica.
3. Seleccionar un punto de prueba en cada intervalo para determinar el signo en cada intervalo.
4. La solución la conforman todos los intervalos que hacen que la desigualdad sea cierta. La solución se puede expresar de distintas formas:
• Como intervalo
• Como conjunto
• Gráficamente

Ejemplos

Ejemplo 1:

Resolver la siguiente inecuación $\mid$ x - 20 ∣ ≤ 6

Solución:

Paso 1: Aislar la expresión con valor absoluto a un lado de la inecuación. En este caso, ya se encuentra aislada la expresión valor absoluto al lado izquierdo de la inecuación.
Paso 2: Hallar los intervalos de prueba. Esto se logra resolviendo la ecuación que resulta de cambiar el signo de desigualdad por el signo de igualdad. La solución de dicha ecuación determina los límites de los intervalos en la recta numérica. Vamos a resolver la ecuación: $\mid$ x - 20 ∣ = 6 Aplicando la definición de valor absoluto, tenemos dos posibilidades:
$x$ - 20 = - 6 x - 20 + 20 = - 6 + 20 x = 14	$x$ - 20 = 6 x - 20 + 20 = 6 + 20 x = 26
Paso 3: Seleccionar un punto de prueba en cada intervalo para determinar el signo en cada intervalo. Intervalo Punto de Prueba Lado izquierdo de la Inecuación evaluada en el punto de prueba. $($ - ∞ , 14 ) x = 0 $\mid$ 0 - 20 ∣ = 20 $($ 14 , 26 ) x = 15 $\mid$ 15 - 20 ∣ = 5 $($ 26 , ∞ ) x = 27 $\mid$ 27 - 20 ∣ = 7
Paso 4: Determinar los intervalos que forman parte de la solución. La solución la conforman todos los intervalos que hacen que la desigualdad sea cierta. En la tabla anterior evaluamos el lado izquierdo de la inecuación, ahora veamos cual de estos intervalos cumple con la desigualdad. En la tabla, vemos que el intervalo de la segunda fila cumple con ser $\le$ 6 . La solución se puede expresar de distintas formas: Expresando la solución como conjunto:$x$ 14 ≤ x ≤ 26 Expresando la solución como intervalo$[$ 14 , 26 ] Gráficamente

Ejemplo 2:

Resolver la siguiente inecuación $\mid$ 3 - 4 x ∣ - 9 ≥ 0

Solución:

Paso 1: Aislar la expresión con valor absoluto a un lado de la inecuación. Aplicando propiedades de desigualdades podemos realizar operaciones para aislar la expresión con valor absoluto al lado izquierdo de la ecuación.  $\mid$ 3 - 4 x ∣ - 9 ≥ 0 ∣ 3 - 4 x ∣ - 9 + 9 ≥ 0 + 9 ∣ 3 - 4 x ∣ ≥ 9
Paso 2: Hallar los intervalos de prueba. Esto se logra resolviendo la ecuación que resulta de cambiar el signo de desigualdad por el signo de igualdad. La solución de dicha ecuación determina los límites de los intervalos en la recta numérica. Vamos a resolver la ecuación: $\mid$ 3 - 4 x ∣ = 9 Aplicando la definición de valor absoluto, tenemos dos posibilidades:
$3$ - 4 x = - 9 3 - 4 x - 3 = - 9 - 3 - 4 x = - 12 - 4 x - 4= - 12 - 4 x = 3	$3$ - 4 x = 9 3 - 4 x - 3 = 9 - 3 - 4 x = 6 - 4 x - 4 =6 - 4 x = - 3 2
Paso 3: Seleccionar un punto de prueba en cada intervalo para determinar el signo en cada intervalo. Intervalo Punto de Prueba Lado izquierdo de la Inecuación evaluada en el punto de prueba. $($ - ∞ , - 3 2 ) x = -2 $\mid$ 3 - 4 ( - 2 ) ∣ = ∣ 3 + 8 ∣ = 11 $($ - 3 2 , 3 ) x = 0 $\mid$ 3 - 4 ( 0 ) ∣ = ∣ 3 - 0 ∣ = 3 $($ 3 , ∞ ) x = 4 $\mid$ 3 - 4 ( 4 ) ∣ = ∣ 3 - 16 ∣ = 13
Paso 4: Determinar los intervalos que forman parte de la solución. La solución la conforman todos los intervalos que hacen que la desigualdad sea cierta. En la tabla anterior evaluamos el lado izquierdo de la inecuación, ahora veamos cual de estos intervalos cumple con la desigualdad. En la tabla, vemos que los intervalos de la primera y tercera fila cumplen con ser $\ge$ 9 . La solución se puede expresar de distintas formas: Expresando la solución como conjunto:$x$ x ≤ - 3 2     ó     x ≥ 3 Expresando la solución como intervalo$($ - ∞ , - 3 2 ] ∪ [ 3 , ∞ ) Gráficamente