rectas paralelas y perpendiculares

Perpendiculares y paralelas

Perpendiculares

Simplemente significa en ángulos rectos (90°) con.

La línea roja es perpendicular a la azul en estos dos casos:

(La cajita en la esquina significa "en ángulos rectos", así que no hacía falta poner también que son 90°, ¡pero queríamos hacerlo!)

Paralelas

Dos líneas son paralelas si siempre están a la misma distancia (se llaman "equidistantes"), y no se van a encontrar nunca. (También apuntan en la misma dirección). Sólo recuerda:

Siempre la misma distancia y no se encuentran nunca.

La línea roja es paralela a la azul en estos dos casos:

Ejemplo 1		Ejemplo 2

RECTAS PARALELAS

Una Recta es una sucesión infinita de puntos, situados todos en una misma dirección, en tanto, esa sucesión se caracteriza por ser continúa e indefinida, por tanto, una recta no tiene ni principio ni fin; junto al plano y al punto, la recta es uno de los entes geométricos fundamentales. Y paralela es un adjetivo que se emplea para referirse a aquello semejante, correspondiente o que ha sido desarrollado en un mismo tiempo.

las rectas paralelas son aquellas rectas que se encuentran en un mismo plano, presentan la misma pendiente y que no presentan ningún punto en común, esto significa que no se cruzan, ni tocan y ni siquiera se van a cruzar sus prolongaciones.

ejemplos:

 rectas crecientes

Una función es creciente cuando al ir aumentando los valores de x van aumentando los valores de y . O al ir disminuyendo los valores de x van disminuyendo los valores de y . 

La pendiente de la recta m es positiva.

Para leer en un eje de coordenadas leemos de izquierda a derecha (como escribimos).

Ejemplos de rectas crecientes:  1)   y = 4x     2)   y = 3x + 2     3)   y = 5/3 x + 1    4)    y = 3/2 x + 2 

Analizar y representar la siguiente recta:   y = 3x -1

La pendiente de la recta es 3 , por ser positiva la recta es creciente.

La ordenada en el origen n = -1, el punto de corte con el eje de ordenadas será el (0, -1)

rectas decrecientes

Una función es decreciente cuando al ir aumentando los valores de x van disminuyendo los valores de y , o viceversa. La pendiente de la recta m es negativa. 

La pendiente de la recta m es negativa.

Ejemplos de rectas decrecientes:  1)   y = - 3x     2)   y = - 4/3x +1 

Analizar y representar la siguiente recta:   y = -2x + 2

La pendiente de la recta es -2 , por ser negativa la recta es decreciente.

La ordenada en el origen n = 2, el punto de corte con el eje de ordenadas será el (0, 2)

Ejercicios rectas paralelas

Dos rectas son paralelas cuando tienen la misma pendiente.

Ejemplos de rectas paralelas:  a)  y = 3x  y   b)   y = 3x +1   c)  y = -2x + 5  y   d)   y = -2x -2

Analizar y representar la siguiente recta:   y = 4x + 2

La pendiente de la recta es 4 , por ser positiva la recta es creciente.

La ordenada en el origen n = 2, el punto de corte con el eje de ordenadas será el (0, 2)

SISTEMA DE COORDENADAS

SISTEMA DE COORDENADAS

 COORDENADAS CARTESIANAS

CONCEPTO:

En geometría, un sistema de coordenadas es un sistema que utiliza uno o más números (coordenadas) para determinar unívoca mente la posición de un punto o de otro objeto geométrico.¹

El orden en que se escriben las coordenadas es significativo y a veces se las identifica por su posición en una tupla ordenada; también se las puede representar con letras, como por ejemplo «la coordenada-x». El estudio de los sistemas de coordenadas es objeto de la geometría analítica, permite formular los problemas geométricos de forma "numérica".²

Un ejemplo corriente es el sistema que asigna longitud y latitud para localizar coordenadas geográficas. En física, un sistema de coordenadas para describir puntos en el espacio recibe el nombre de sistema de referencia.

Sistema de coordenadas cartesianas

En un espacio euclídeo un sistema de coordenadas cartesianas se define por dos o tres ejes ortogonales igualmente escalados, dependiendo de si es un sistema bidimensional o tridimensional (análogamente en  se pueden definir sistemas n-dimensionales). El valor de cada una de las coordenadas de un punto (A) es igual a la proyección ortogonal del vector de posición de dicho punto () sobre un eje determinado:

Cada uno de los ejes está definido por un vector director y por el origen de coordenadas. Por ejemplo, el eje x está definido por el origen de coordenadas (O) y un vector () tal que:

, cuyo módulo es .

El valor de la coordenada x de un punto es igual a la proyección ortogonal del vector de posición de dicho punto sobre el eje x.

 

Inecuaciones con Valor Absoluto

INECUACIONES CON VALOR ABSOLUTO

Una inecuación es una desigualdad algebraica en la que aparecen una o más incógnitas en los miembros de la desigualdad. Si la desigualdad es del tipo < o > se denomina inecuación en sentido estricto y si es del tipo ≤ o ≥  se denomina inecuación en sentido amplio.

Método para resolver inecuaciones con Valor Absoluto

Para resolver una inecuación que contiene valor absoluto, se siguen los siguientes pasos:

1. Aislar la expresión con valor absoluto a un lado de la inecuación.
2. Hallar los intervalos de prueba. Esto se logra resolviendo la ecuación que resulta de cambiar el signo de desigualdad por el signo de igualdad. La solución de dicha ecuación determina los límites de los intervalos en la recta numérica.
3. Seleccionar un punto de prueba en cada intervalo para determinar el signo en cada intervalo.
4. La solución la conforman todos los intervalos que hacen que la desigualdad sea cierta. La solución se puede expresar de distintas formas:
• Como intervalo
• Como conjunto
• Gráficamente

Ejemplos

Ejemplo 1:

Resolver la siguiente inecuación $\mid$ x - 20 ∣ ≤ 6

Solución:

Paso 1: Aislar la expresión con valor absoluto a un lado de la inecuación. En este caso, ya se encuentra aislada la expresión valor absoluto al lado izquierdo de la inecuación.
Paso 2: Hallar los intervalos de prueba. Esto se logra resolviendo la ecuación que resulta de cambiar el signo de desigualdad por el signo de igualdad. La solución de dicha ecuación determina los límites de los intervalos en la recta numérica. Vamos a resolver la ecuación: $\mid$ x - 20 ∣ = 6 Aplicando la definición de valor absoluto, tenemos dos posibilidades:
$x$ - 20 = - 6 x - 20 + 20 = - 6 + 20 x = 14	$x$ - 20 = 6 x - 20 + 20 = 6 + 20 x = 26
Paso 3: Seleccionar un punto de prueba en cada intervalo para determinar el signo en cada intervalo. Intervalo Punto de Prueba Lado izquierdo de la Inecuación evaluada en el punto de prueba. $($ - ∞ , 14 ) x = 0 $\mid$ 0 - 20 ∣ = 20 $($ 14 , 26 ) x = 15 $\mid$ 15 - 20 ∣ = 5 $($ 26 , ∞ ) x = 27 $\mid$ 27 - 20 ∣ = 7
Paso 4: Determinar los intervalos que forman parte de la solución. La solución la conforman todos los intervalos que hacen que la desigualdad sea cierta. En la tabla anterior evaluamos el lado izquierdo de la inecuación, ahora veamos cual de estos intervalos cumple con la desigualdad. En la tabla, vemos que el intervalo de la segunda fila cumple con ser $\le$ 6 . La solución se puede expresar de distintas formas: Expresando la solución como conjunto:$x$ 14 ≤ x ≤ 26 Expresando la solución como intervalo$[$ 14 , 26 ] Gráficamente

Ejemplo 2:

Resolver la siguiente inecuación $\mid$ 3 - 4 x ∣ - 9 ≥ 0

Solución:

Paso 1: Aislar la expresión con valor absoluto a un lado de la inecuación. Aplicando propiedades de desigualdades podemos realizar operaciones para aislar la expresión con valor absoluto al lado izquierdo de la ecuación.  $\mid$ 3 - 4 x ∣ - 9 ≥ 0 ∣ 3 - 4 x ∣ - 9 + 9 ≥ 0 + 9 ∣ 3 - 4 x ∣ ≥ 9
Paso 2: Hallar los intervalos de prueba. Esto se logra resolviendo la ecuación que resulta de cambiar el signo de desigualdad por el signo de igualdad. La solución de dicha ecuación determina los límites de los intervalos en la recta numérica. Vamos a resolver la ecuación: $\mid$ 3 - 4 x ∣ = 9 Aplicando la definición de valor absoluto, tenemos dos posibilidades:
$3$ - 4 x = - 9 3 - 4 x - 3 = - 9 - 3 - 4 x = - 12 - 4 x - 4= - 12 - 4 x = 3	$3$ - 4 x = 9 3 - 4 x - 3 = 9 - 3 - 4 x = 6 - 4 x - 4 =6 - 4 x = - 3 2
Paso 3: Seleccionar un punto de prueba en cada intervalo para determinar el signo en cada intervalo. Intervalo Punto de Prueba Lado izquierdo de la Inecuación evaluada en el punto de prueba. $($ - ∞ , - 3 2 ) x = -2 $\mid$ 3 - 4 ( - 2 ) ∣ = ∣ 3 + 8 ∣ = 11 $($ - 3 2 , 3 ) x = 0 $\mid$ 3 - 4 ( 0 ) ∣ = ∣ 3 - 0 ∣ = 3 $($ 3 , ∞ ) x = 4 $\mid$ 3 - 4 ( 4 ) ∣ = ∣ 3 - 16 ∣ = 13
Paso 4: Determinar los intervalos que forman parte de la solución. La solución la conforman todos los intervalos que hacen que la desigualdad sea cierta. En la tabla anterior evaluamos el lado izquierdo de la inecuación, ahora veamos cual de estos intervalos cumple con la desigualdad. En la tabla, vemos que los intervalos de la primera y tercera fila cumplen con ser $\ge$ 9 . La solución se puede expresar de distintas formas: Expresando la solución como conjunto:$x$ x ≤ - 3 2     ó     x ≥ 3 Expresando la solución como intervalo$($ - ∞ , - 3 2 ] ∪ [ 3 , ∞ ) Gráficamente

ECUACIONES CON VALOR ABSOLUTO

ECUACIONES CON VALOR ABSOLUTO

ECUACIONES

Valor absoluto

Valor absoluto de un números entero

El valor absoluto de un número entero es el número natural que resulta al suprimir su signo.

El valor absoluto lo escribiremos entre barras verticales.

|−5| = 5

|5| = 5

Valor absoluto de un número real

Valor absoluto de un número real a, se escribe |a|, es el mismo número a cuando es positivo o cero, y opuesto de a, si a es negativo.

5| = 5            |-5 |= 5         |0| = 0

|x| = 2           x = −2           x = 2|

|x|< 2        − 2< x < 2        x  (−2, 2 )

|x|> 2            x< −2 ó x>2     (−∞ , −2)  (2, +∞)

|x −2 |< 5     − 5 < x − 2 < 5    

 − 5 + 2 < x <  5 + 2     − 3 < x < 7

Propiedades del valor absoluto

1 Los números opuestos tienen igual valor absoluto.

|a| = |−a|

|5| = |−5| = 5

2El valor absoluto de un producto es igual al producto de los valores absolutos de los factores.

|a · b| = |a| ·|b|

|5 · (−2)| = |5| · |(−2)|      |− 10| = |5| · |2|     10 = 10

3El valor absoluto de una suma es menor o igual que la suma de los valores absolutos de los sumandos.

|a + b| ≤ |a| + |b|

|5 + (−2)| ≤ |5| + |(−2)|      |3| = |5| + |2|     3 ≤ 7

Función valor absoluto

Las funciones en valor absoluto se transforman en funciones a trozos, siguiendo los siguientes pasos:

1. Se iguala a cero la función, sin el valor absoluto, y se calculan sus raíces.

2. Se forman intervalos con las raíces y se evalúa el signo de cada intervalo.

3. Definimos la función a trozos, teniendo en cuenta que en los intervalos donde la x es negativa se cambia el signo de la función.

4 Representamos la función resultante.

D= 

CONJUNTOS

CONJUNTOS 

En matemáticas, un conjunto es una agrupación de objetos considerada como un objeto en sí. Los objetos del conjunto pueden ser cualquier cosa: personas,números, colores, letras, figuras, etc. Cada uno de los objetos en la colección es un elemento o miembro del conjunto.¹ Por ejemplo, el conjunto de los colores del arcoíris es:

AI = {Rojo, Naranja, Amarillo, Verde, Azul, Añil, Violeta}

Un conjunto suele definirse mediante una propiedad que todos sus elementos poseen. Por ejemplo, para los números naturales, si se considera la propiedad de ser un número primo, el conjunto de los números primos es:

P = {2, 3, 5, 7, 11, 13, ...}

Un conjunto queda definido únicamente por sus miembros y por nada más. En particular, un conjunto puede escribirse como una lista de elementos, pero cambiar el orden de dicha lista o añadir elementos repetidos no define un conjunto nuevo. Por ejemplo:

Los conjuntos pueden ser finitos o infinitos. El conjunto de los números naturales es infinito, pero el conjunto de los planetas en el Sistema Solar es finito (tiene ocho elementos). Además, los conjuntos pueden combinarse mediante operaciones, de manera similar a las operaciones con números.

Los conjuntos son un concepto primitivo, en el sentido de que no es posible definirlos en términos de nociones más elementales, por lo que su estudio puede realizarse de manera informal, apelando a la intuición y a la lógica. Por otro lado, son el concepto fundamental de la matemática: mediante ellos puede formularse el resto de objetos matemáticos, como los números y las funciones, entre otros. Su estudio detallado requiere pues la introducción de axiomas y conduce a la teoría de conjuntos.

Igualdad de conjuntos                        

 

Un conjunto está totalmente determinado por sus elementos. Por ello, la igualdad de conjuntos se establece como:

Propiedad de la extensionalidad Dos conjuntos A y B que tengan los mismos elementos son el mismo conjunto, A = B.

Esta propiedad tiene varias consecuencias. Un mismo conjunto puede especificarse de muchas maneras distintas, en particular extensivas o intensivas. Por ejemplo, el conjunto A de los números naturales menores que 5 es el mismo conjunto que A′, el conjunto de los números 1, 2, 3 y 4. También:

B = {verde, blanco, rojo} = {colores de la bandera de México}

C = {a, e, i, o, u} = {vocales del español}

D = {Palos de la baraja francesa} = {♠, ♣, ♥, ♦}

El orden en el que se precisan los elementos tampoco se tiene en cuenta para comparar dos conjuntos:

B = {verde, blanco, rojo} = {rojo, verde, blanco}

C = {a, e, i, o, u} = {e, i, u, a, o}

Además, un conjunto no puede tener elementos «repetidos», ya que un objeto solo puede o bien ser un elemento de dicho conjunto o no serlo. Se da entonces que, por ejemplo:

{1, 2} = {1, 2, 1}

En ausencia de alguna característica adicional que distinga los «1» repetidos, lo único que puede decirse del conjunto de la derecha es que «1» es uno de sus elementos.

Conjunto vacío

El conjunto que no contiene ningún elemento se llama el conjunto vacío y se denota por ∅ o simplemente {}. Existe un único conjunto vacío, ya que lo único que distingue a un conjunto son sus elementos.

Subconjuntos

Un subconjunto A de un conjunto B, es un conjunto que contiene algunos de los elementos de B (o quizá todos):

Un conjunto A es un subconjunto del conjunto B si cada elemento de A es a su vez un elemento de B.

Cuando A es un subconjunto de B, se denota como A ⊆ B y se dice que «A está contenido en B». También puede escribirse B ⊇ A, y decirse que B es un superconjunto de A y también «B contiene a A» o «B incluye a A».

Todo conjunto A es un subconjunto de sí mismo, ya que siempre se cumple que «cada elemento de A es a su vez un elemento de A». Es habitual establecer una distinción más fina mediante el concepto de subconjunto propio: A es un subconjunto propio de B si es un subconjunto de B pero no es igual a B. Se denota como A ⊊ B, es decir: A ⊆ B pero A ≠ B (y equivalentemente, para un superconjunto propio, B ⊋ A).^{n 2}

Ejemplos.

El «conjunto de todos los hombres» es un subconjunto propio del «conjunto de todas las personas».

{1, 3} ⊊ {1, 2, 3, 4}

{1, 2, 3, 4} ⊆ {1, 2, 3, 4}

Conjuntos disjuntos

Dos conjuntos A y B son disjuntos si no tienen ningún elemento en común. Por ejemplo, los conjuntos de los números racionales y los números irracionales son disjuntos: no hay ningún número que sea a la vez racional e irracional. La intersección de dos conjuntos disjuntos es el conjunto vacío.


Cardinal
Los conjuntos pueden ser finitos o infinitos. En el caso de un conjunto finito se pueden contar los elementos del conjunto:
El número de elementos de un conjunto finito es su cardinal.
El cardinal se denota por |A|, card(A) o #A. Así, en los ejemplos anteriores, se tiene que |A| = 4 (cuatro números), |B| = 3 (tres colores) y|F| = 10 (diez cuadrados). El único conjunto cuyo cardinal es 0 es el conjunto vacío ∅.
En un conjunto infinito no hay un número finito de elementos. Es el caso por ejemplo de los números naturales: N = {1, 2, 3, ...}. Sin embargo, existe una manera de comparar conjuntos infinitos entre sí, y se obtiene que existen conjuntos infinitos «más grandes» que otros. El «número de elementos» de un conjunto infinito es un número transfinito.
Operaciones con conjuntos
Operaciones con conjuntos

Unión

Intersección

Diferencia

Complemento

Diferencia simétric
Existen varias operaciones básicas que pueden realizarse para, partiendo de ciertos conjuntos dados, obtener nuevos conjuntos:
• Unión: (símbolo ∪) La unión de dos conjuntos A y B, que se representa como A ∪ B, es el conjunto de todos los elementos que pertenecen al menos a uno de los conjuntos A y B.
• Intersección: (símbolo ∩) La intersección de dos conjuntos A y B es el conjunto A ∩ B de los elementos comunes a A y B.
• Diferencia: (símbolo \) La diferencia del conjunto A con B es el conjunto A \ B que resulta de eliminar de A cualquier elemento que esté en B.
• Complemento: El complemento de un conjunto A es el conjunto A^∁ que contiene todos los elementos que no pertenecen a A, respecto a un conjunto U que lo contiene.
• Diferencia simétrica: (símbolo Δ) La diferencia simétrica de dos conjuntos A y B es el conjunto A Δ B con todos los elementos que pertenecen, o bien a A, o bien a B, pero no a ambos a la vez.
• Producto cartesiano: (símbolo ×) El producto cartesiano de dos conjuntos A y B es el conjunto A × B de todos los pares ordenados (a, b) formados con un primer elemento a perteneciente a A, y un segundo elemento b perteneciente a B.


Ejemplos
• {1, a, 0} ∪ {2, b} = {2, b, 1, a, 0}
• {5, z, ♠} ∩ {♠, a} = {♠}
• {5, z, ♠} \ {♠, a} = {5, z}
• {♠, 5} Δ {8, #, ♠} = {5, #, 8}
• {1, a, 0} × {2, b} = {(1, 2), (1, b), (a, 2), (a, b), (0, 2), (0, b)}