rectas paralelas y perpendiculares

Perpendiculares y paralelas

Perpendiculares

Simplemente significa en ángulos rectos (90°) con.

La línea roja es perpendicular a la azul en estos dos casos:

(La cajita en la esquina significa "en ángulos rectos", así que no hacía falta poner también que son 90°, ¡pero queríamos hacerlo!)

Paralelas

Dos líneas son paralelas si siempre están a la misma distancia (se llaman "equidistantes"), y no se van a encontrar nunca. (También apuntan en la misma dirección). Sólo recuerda:

Siempre la misma distancia y no se encuentran nunca.

La línea roja es paralela a la azul en estos dos casos:


Ejemplo 1		Ejemplo 2

RECTAS PARALELAS

Una Recta es una sucesión infinita de puntos, situados todos en una misma dirección, en tanto, esa sucesión se caracteriza por ser continúa e indefinida, por tanto, una recta no tiene ni principio ni fin; junto al plano y al punto, la recta es uno de los entes geométricos fundamentales. Y paralela es un adjetivo que se emplea para referirse a aquello semejante, correspondiente o que ha sido desarrollado en un mismo tiempo.

las rectas paralelas son aquellas rectas que se encuentran en un mismo plano, presentan la misma pendiente y que no presentan ningún punto en común, esto significa que no se cruzan, ni tocan y ni siquiera se van a cruzar sus prolongaciones.

ejemplos:

rectas crecientes

Una función es creciente cuando al ir aumentando los valores de x van aumentando los valores de y . O al ir disminuyendo los valores de x van disminuyendo los valores de y .

La pendiente de la recta m es positiva.

Para leer en un eje de coordenadas leemos de izquierda a derecha (como escribimos).

Ejemplos de rectas crecientes: 1) y = 4x 2) y = 3x + 2 3) y = 5/3 x + 1 4) y = 3/2 x + 2

Analizar y representar la siguiente recta: y = 3x -1

La pendiente de la recta es 3 , por ser positiva la recta es creciente.

La ordenada en el origen n = -1, el punto de corte con el eje de ordenadas será el (0, -1)

rectas decrecientes

Una función es decreciente cuando al ir aumentando los valores de x van disminuyendo los valores de y , o viceversa. La pendiente de la recta m es negativa.

La pendiente de la recta m es negativa.

Ejemplos de rectas decrecientes: 1) y = - 3x 2) y = - 4/3x +1

Analizar y representar la siguiente recta: y = -2x + 2

La pendiente de la recta es -2 , por ser negativa la recta es decreciente.

La ordenada en el origen n = 2, el punto de corte con el eje de ordenadas será el (0, 2)

Ejercicios rectas paralelas

Dos rectas son paralelas cuando tienen la misma pendiente.

Ejemplos de rectas paralelas: a) y = 3x y b) y = 3x +1 c) y = -2x + 5 y d) y = -2x -2

Analizar y representar la siguiente recta: y = 4x + 2

La pendiente de la recta es 4 , por ser positiva la recta es creciente.

La ordenada en el origen n = 2, el punto de corte con el eje de ordenadas será el (0, 2)

SISTEMA DE COORDENADAS

COORDENADAS CARTESIANAS

CONCEPTO:

En geometría, un sistema de coordenadas es un sistema que utiliza uno o más números (coordenadas) para determinar unívoca mente la posición de un punto o de otro objeto geométrico.¹

El orden en que se escriben las coordenadas es significativo y a veces se las identifica por su posición en una tupla ordenada; también se las puede representar con letras, como por ejemplo «la coordenada-x». El estudio de los sistemas de coordenadas es objeto de la geometría analítica, permite formular los problemas geométricos de forma "numérica".²

Un ejemplo corriente es el sistema que asigna longitud y latitud para localizar coordenadas geográficas. En física, un sistema de coordenadas para describir puntos en el espacio recibe el nombre de sistema de referencia.

Sistema de coordenadas cartesianas

En un espacio euclídeo un sistema de coordenadas cartesianas se define por dos o tres ejes ortogonales igualmente escalados, dependiendo de si es un sistema bidimensional o tridimensional (análogamente en $\scriptstyle \mathbb{R} ^{n}$ se pueden definir sistemas n-dimensionales). El valor de cada una de las coordenadas de un punto (A) es igual a la proyección ortogonal del vector de posición de dicho punto ( ${\mathbf r}_{{\text{A}}}={\text{OA}}\,$ ) sobre un eje determinado:

${\mathbf r}_{{\text{A}}}={\text{OA}}=(x_{{\text{A}}},y_{{\text{A}}},z_{{\text{A}}})$

Cada uno de los ejes está definido por un vector director y por el origen de coordenadas. Por ejemplo, el eje x está definido por el origen de coordenadas (O) y un vector ( ${\mathbf {i}}\,$ ) tal que:

${\mathbf {i}}=(1,0,0)$ , cuyo módulo es $|{\mathbf {i}}|=1\,$ .

El valor de la coordenada x de un punto es igual a la proyección ortogonal del vector de posición de dicho punto sobre el eje x.

$x_{{\text{A}}}={{\text{OA}}\cdot {\mathbf {i}} \over |{\text{OA}}|\cdot |{\mathbf {i}}|}={{\text{OA}} \over |{\text{OA}}|}\cdot {\mathbf {i}}$

Inecuaciones con Valor Absoluto

INECUACIONES CON VALOR ABSOLUTO

Una inecuación es una desigualdad algebraica en la que aparecen una o más incógnitas en los miembros de la desigualdad. Si la desigualdad es del tipo < o > se denomina inecuación en sentido estricto y si es del tipo ≤ o ≥ se denomina inecuación en sentido amplio.

Método para resolver inecuaciones con Valor Absoluto

Para resolver una inecuación que contiene valor absoluto, se siguen los siguientes pasos:

Aislar la expresión con valor absoluto a un lado de la inecuación.
Hallar los intervalos de prueba. Esto se logra resolviendo la ecuación que resulta de cambiar el signo de desigualdad por el signo de igualdad. La solución de dicha ecuación determina los límites de los intervalos en la recta numérica.
Seleccionar un punto de prueba en cada intervalo para determinar el signo en cada intervalo.
La solución la conforman todos los intervalos que hacen que la desigualdad sea cierta. La solución se puede expresar de distintas formas:

Como intervalo
Como conjunto
Gráficamente

Ejemplos

Ejemplo 1:

Resolver la siguiente inecuación

∣

x - 20 ∣ ≤ 6

Solución:

Paso 1: Aislar la expresión con valor absoluto a un lado de la inecuación. En este caso, ya se encuentra aislada la expresión valor absoluto al lado izquierdo de la inecuación.

Paso 2: Hallar los intervalos de prueba. Esto se logra resolviendo la ecuación que resulta de cambiar el signo de desigualdad por el signo de igualdad. La solución de dicha ecuación determina los límites de los intervalos en la recta numérica.
Vamos a resolver la ecuación:

∣

x - 20 ∣ = 6

Aplicando la definición de valor absoluto, tenemos dos posibilidades:

x

- 20 = - 6 x - 20 + 20 = - 6 + 20 x = 14

x

- 20 = 6 x - 20 + 20 = 6 + 20 x = 26

Paso 3: Seleccionar un punto de prueba en cada intervalo para determinar el signo en cada intervalo.

Intervalo	Punto de Prueba	Lado izquierdo de la Inecuación evaluada en el punto de prueba.
$($ - ∞ , 14 )	x = 0	$∣$ 0 - 20 ∣ = 20
$($ 14 , 26 )	x = 15	$∣$ 15 - 20 ∣ = 5
$($ 26 , ∞ )	x = 27	$∣$ 27 - 20 ∣ = 7

Paso 4: Determinar los intervalos que forman parte de la solución. La solución la conforman todos los intervalos que hacen que la desigualdad sea cierta. En la tabla anterior evaluamos el lado izquierdo de la inecuación, ahora veamos cual de estos intervalos cumple con la desigualdad. En la tabla, vemos que el intervalo de la segunda fila cumple con ser

≤

6 .
La solución se puede expresar de distintas formas:

Expresando la solución como conjunto: $x$ 14 ≤ x ≤ 26
Expresando la solución como intervalo $[$ 14 , 26 ]
Gráficamente

Ejemplo 2:

Resolver la siguiente inecuación

∣

3 - 4 x ∣ - 9 ≥ 0

Solución:

Paso 1: Aislar la expresión con valor absoluto a un lado de la inecuación. Aplicando propiedades de desigualdades podemos realizar operaciones para aislar la expresión con valor absoluto al lado izquierdo de la ecuación.

∣

3 - 4 x ∣ - 9 ≥ 0 ∣ 3 - 4 x ∣ - 9 + 9 ≥ 0 + 9 ∣ 3 - 4 x ∣ ≥ 9

∣

3 - 4 x ∣ = 9

Aplicando la definición de valor absoluto, tenemos dos posibilidades:

3

- 4 x = - 9 3 - 4 x - 3 = - 9 - 3 - 4 x = - 12 - 4 x - 4= - 12 - 4 x = 3

3

- 4 x = 9 3 - 4 x - 3 = 9 - 3 - 4 x = 6 - 4 x - 4 =6 - 4 x = - 3 2

Paso 3: Seleccionar un punto de prueba en cada intervalo para determinar el signo en cada intervalo.

Intervalo	Punto de Prueba	Lado izquierdo de la Inecuación evaluada en el punto de prueba.
$($ - ∞ , - 3 2 )	x = -2	$∣$ 3 - 4 ( - 2 ) ∣ = ∣ 3 + 8 ∣ = 11
$($ - 3 2 , 3 )	x = 0	$∣$ 3 - 4 ( 0 ) ∣ = ∣ 3 - 0 ∣ = 3
$($ 3 , ∞ )	x = 4	$∣$ 3 - 4 ( 4 ) ∣ = ∣ 3 - 16 ∣ = 13

≥

9 .
La solución se puede expresar de distintas formas:

Expresando la solución como conjunto: $x$ x ≤ - 3 2 ó x ≥ 3
Expresando la solución como intervalo $($ - ∞ , - 3 2 ] ∪ [ 3 , ∞ )
Gráficamente

ECUACIONES CON VALOR ABSOLUTO

ECUACIONES

Valor absoluto

Valor absoluto de un números entero

El valor absoluto de un número entero es el número natural que resulta al suprimir su signo.

El valor absoluto lo escribiremos entre barras verticales.

|−5| = 5

|5| = 5

Valor absoluto de un número real

Valor absoluto de un número real a, se escribe |a|, es el mismo número a cuando es positivo o cero, y opuesto de a, si a es negativo.